RameRame.Com

Tampilkan postingan dengan label tips umum. Tampilkan semua postingan

Freeware : "ATLAS" untuk Analisis Balok Sederhana dan Banyak Tumpuan

Sabtu, 08 Mei 2010

Atlas adalah salah satu freeware untuk menganalisis balok. Software ini sangat “ringan” dan mampu dengan cepat menghasilkan diagram gaya geser dan bidang momen lentur secara “real-time”. Maksudnya, ketika kita memasukkan input, seketika itu juga outputnya langsung ditampilkan.

Software ini sangat sederhana, karena hanya melakukan analisis struktur pada balok, entah itu balok sederhana (2 tumpuan), ataupun balok banyak tumpuan. Adapun data yang harus dimasukkan antara lain:

Panjang total balok. Jika balok satu bentang, maka yang dimasukkan adalah panjang bentang. Jika lebih dari satu bentang, maka yang dimasukkan adalah total panjang bentang (termasuk kantilever jika ada).
Tumpuan, meliputi jenis tumpuan (sendi, roll, jepit), dan posisi tumpuan, diukur dari ujung kiri balok.
Beban, meliputi beban tepusat dan beban terdistribusi.

Sementara output dari software Atlas ini adalah :

Reaksi tumpuan
Diagram gaya geser dan diagram momen.

Atlas_preview

Juragan dapat memberikan beberapa catatan tentang software ini. Entah itu adalah kelebihan ataupun kekurangan itu sifatnya relatif tergantung siapa dan untuk apa software ini digunakan. Jadi, juragan tidak menggunakan istilah kelebihan dan kekurangan. Yang jelas, berikut ini adalah beberapa poin yang bisa juragan tuliskan:

Reaksi tumpuan ditampilkan dalam grafik dan nilainya tidak dituliskan. Tetapi grafik tersebut dapat diskalakan dengan ordinat di sebelah kiri. Atau, jika ingin mengetahui nilai pastinya, bisa dilakukan dengan menyeleksi tumpuan yang dimaksud dan beberapa saat kemudian akan muncul tool-tip berisi besar reaksi tumpuan.
Diagram gaya geser dan momen juga tidak ditampilkan nilainya pada grafik. Akan tetapi, jika kita mengarahkan kursor ke grafik gaya geser dan momen, secara real-time status bar di bagian bawah akan memonitor setiap pergerakan kursor dan akan memberikan info berupa jarak x, momen M, dan gaya geser F. Sementara momen maksimum ditampilkan di status bar di sebelah kanan bawah.
Input yang berupa tumpuan dan beban harus dimasukkan dengan cara mengklik langsung pada grafik, sementara Atlas tidak menyediakan fasilitas snap (menempel secara otomatis pada setiap grid). Akibatnya posisi tumpuan dan beban tidak bisa presisi dalam satu kali klik. Tapi, hal ini bisa diantisipasi dengan cara mengubah properties dari tumpuan atau beban tersebut, dan besar maupun nilainya bisa diketik secara langsung.
Atlas sangat powerful dalam menganalisis balok dengan jumlah bentang yang banyak, dengan beban-beban yang sangat bervariasi.
Atlas menyediakan dua sistem unit/satuan: (N-m), dan (lb-ft).
Kadang terjadi bug ketika kita ingin mengubah properti sebuah tumpuan. Misalnya sebuah tumpuan sendi ingin diubah menjadi jepit. Sebagai solusinya, lebih cepat jika tumpuan sendi itu dihapus, kemudian buat tumpuan jepit yang baru.
Atlas hanya melakukan analisis struktur, tidak melakukan desain.
Atlas tidak menghitung lendutan pada balok. Untuk menghitung lendutan, perlu input tambahan yaitu modulus elastisitas E, dan momen inersia penampang I.
Atlas dapat membuka lebih dari satu file, jadi kita dapat membandingkan satu analisis dengan analisis yang lain.

Kesimpulan, menurut juragan, Atlas ini terlalu sayang untuk dijadikan “desktop application” yaitu aplikasi yang dijalankan di desktop (PC atau laptop). Atlas bisa jadi lebih “berguna” jika dibuat dalam bentuk “mobile application”, yaitu aplikasi yang bisa di jalankan di perangkat mobile terutama ponsel dan sejenisnya. Untuk keperluan lapangan, Atlas bisa menjadi software yang sangat membantu ketika menemukan kasus-kasus yang mengharuskan kita melakukan analisis balok banyak tumpuan. File setup Atlas sebear 794 kB bisa didownload di link di bawah ini :

Download Atlas

Created By : Unknown Read Full 0 komentar

Game Anak Struktur Sipil

Hi broo klo emang kalian semua ngaku sebagai anak StRuktur, lo hrus mainin game ini. Ini game persembahan dari Chronic Logic.

Lo bisa langsung download gamenya di SINI

Created By : Unknown Read Full 0 komentar

Pengoperasian Matriks dalam Ms. Excel

MS Excel tidak banyak menyediakan fungsi khusus untuk operasi matriks. Untuk operasi aritmetika biasa seperti penjumlahan dan pengurangan, kita bisa lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan seperti biasa sesuai dengan elemen-elemen matriks yang dijumlahkan.

$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

$\mathbf{B} = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right)$

$\mathbf{C = A + B} \\ \\ \mathbf{C} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{array} \right)$

Yang agak sulit dilakukan secara manual adalah perkalian dua matriks. Untungnya MS Excel menyediakan fungsinya, yaitu MMULT(array1,array2). Selain itu ada juga fungsi untuk mencari determinan matriks, MDETERM(array). Dan terakhir, fungsi untuk membuat matriks invers, MINVERSE(array). Berikut ini penjelasan dan cara pakai masing-masing fungsi.

A. Perkalian Dua Matriks

Fungsi : MMULT(array1, array2)

array1 adalah blok matriks pertama yang berukuran (m x n), dan array 2 adalah blok matriks kedua yang berukuran (n x k).

Hasilnya adalah sebuah matriks yang berukuran (m x k)

Contoh :

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 15 & -10 & 8 \\ -8 & 15 & 10 \\ 0 & 0 & -10 \\ 10 & 9 & -12 \end{bmatrix}$

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}$

Kita akan menghitung $\mathbf{C = A } \times \mathbf{ B}$ Ukuran matriks A adalah 4×3, matriks B adalah 3×2, sehingga matriks C nanti harus berukuran 4×2.

1. Buat matriks A dan B di MS Excel seperti gambar berikut
20-matriks-01
2. Ketik fungsi =MMULT(B1:E4,H1:H4). Tekan ENTER. B1:E4 adalah blok untuk matriks A, dan H1:H4 adalah blok untuk matriks B 20-matriks-02
3. Hasilnya adalah 59 yang merupakan komponen baris pertama kolom pertama dari hasil perkalian AxB, diperoleh dari $(15 \times 1) + (-10 \times -2) + (8 \times 3) = 59$
4. Pilih sel (blok) dengan ukuran 4 baris 2 kolom, sesuai dengan ukuran matriks C yaitu hasil perkalian matriks A dan B. Pastikan sel kiri atas dari blok tersebut dalam keadaan aktif.
20-matriks-03
5. Tekan tombol F2.
20-matriks-04
6. Kemudian tekan kombinasi tombol Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-05
Dalam sekejap seluruh sel yang ada di dalam blok langsung terisi sesuai dengan nilai yang sesuai.
7. Coba kita cek, baris ketiga kolom kedua adalah perkalian dari baris ketiga matriks A dengan kolom kedua matriks B $(0 \times -1) + (0 \times 2) + (-10 \times -3) = 30$

B. Menentukan Determinan Matriks

Fungsi : MDETERM(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom matriks harus sama (m x m)

Contoh:

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

1. Buat matriks M
20-matriks-06
2. Ketik fungsi =MDETERM(B12:E15)
20-matriks-07
3. Tekan ENTER
20-matriks-08
4. Determinannya adalah -196

C. Membuat Matriks Invers

Fungsi : MINVERSE(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom harus sama (m x m)

Contoh, kita akan membuat invers matriks M di atas.

1. Ketik fungsi =MINVERSE(B12:E15) 20-matriks-09
2. Pilih sel (blok) sesuai dengan ukuran matriks (4×4)
20-matriks-10
3. Pastikan sel kiri atas aktif. Tekan F2. Kemudian tekan Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-11
4. Itulah matriks invers dari M

Untuk mengujinya, pekalian sebuah matriks dengan invers-nya akan menghasilkan matriks identitas I

1. Ketik fungsi =MMULT(B12:E15,B21:E24). Tekan ENTER.
20-matriks-12
2. Pilih sel (blok) sesuai ukuran matriks (4×4). Pastikan sel kiri atas yang aktif.
20-matriks-13
3. Tekan F2
20-matriks-14
4. Tekan Ctrl + Shift + ENTER
20-matriks-15
5. Atur formatnya. Kekacauan format disebabkan oleh tingkat keterbatasan ketelitian (presisi) bilangan desimal. 20-matriks-16

D. Membuat Matriks Transpose Matriks transpose adalah matriks yang kolomnya berubah menjadi baris, dan barisnya menjadi kolom. Tidak ada fungsi khusus di MS Excel untuk membuat matriks transpose. Akan tetapi, dengan fasilitas Edit -> Paste Special, kita bisa membuat matriks transpose.

1. Pilih matriks yang akan ditranspose
2. Klik toolbar Copy, atau menu Edit -> Copy, atau Ctrl + C
3. Pilih sel tujuan.
4. Klik kanan -> Paste Special, atau klik menu Edit -> Paste Special
5. beri tanda centang pada option Transpose. Klik OK

Penutup Fungsi-fungsi operasi matriks dan fasilitas traspose matriks yang ada pada MS Excel ini sangat dapat diandalkan dalam menyelesaikan analisis struktur metoda matriks kekakuan. Matriks kekakuan dengan ukuran puluhan baris dan kolom pun dapat diselesaikan dalam hitungan sepersekian detik. Kami sendiri pernah melakukan operasi perkalian matriks (matriks kekakuan struktur) dengan ukuran mencapai 80 baris dan kolom menggunakan MS Excel… hasilnya adalah.. pegeelll :D Semoga bermanfaat.

sumber : http://duniatekniksipil.web.id/571/operasi-matriks-di-ms-excel/

Created By : Unknown Read Full 0 komentar

Menambahkan Fungsi di Microsoft Excel

Kita tentu sudah mengenal fungsi-fungsi yang umum digunakan di Excel, misalnya fungsi MAX, MIN, LOOKUP, AVERAGE, SQRT, dll. Tiap-tiap fungsi mempunyai tugas yang berbeda-beda. Kita dapat melihat semua fungsi yang ada di MS Excel melalui menu Insert->Function.

Tidak jarang pula kita mengalami kesulitan sehingga harus menggunakan dua atau lebih fungsi Excel. Misalnya ketika ingin mencari nilai maksimum absolut dari suatu range. Maksimum absolut maksud saya di sini adalah nilai maksimum tanpa mempedulikan tanda positif atau negatif. Yang sering melakukan analisis struktur khususnya ETABS, SAP atau sejenisnya, sering menjumpai kondisi di mana kita akan mengambil nilai momen lentur maksimum (tanpa melihat tanda positif atau negatif).

Misalnya saja, ada data-data sbb:
250, 300, -325, -258, 278

Kalau kita gunakan fungsi MAX() maka hasilnya adalah 300.
Kalau kita gunakan fungsi MIN() hasilnya -325, yang nilai absolutnya lebih besar daripada 300.
Solusinya, kadang kita membuat fungsi kompleks
=IF(MAX(range)>ABS(MIN(range)),MAX(range),MIN(range))
Yang artinya: jika nilai maksimum range lebih besar daripada absolut minimum range, maka ambil nilai maksimum, jika tidak, ambil minimum.

Bagaimana kalo kita bikin fungsi sendiri saja? Biar lebih gampang. Apalagi kalo fungsi itu sering digunakan. Kita tidak perlu lagi mengetik fungsi di dalam fungsi. Apalagi kalau terlalu banyak menggunakan buka-tutup kurung, jangankan si pengguna, MS Excel-nya saja kadang suka “mumet” kalau terlalu banyak buka-tutup kurungnya :) Kadang-kadang begitu selesai mengetikkan fungsi, ternyata ada kesalahan, misalnya kurang tanda tutup kurung, penempatan koma atau titik koma yang salah, dll.

A. Membuat Fungsi ABSMAX
Fungsi ini kita namakan ABSMAX sajalah, yang artinya Absolute Maximum. Fungsi ini nggak ada di default Excel lho. Coba saja ketik ‘=ABSMAX(A1)’, niscaya Excel akan menampilkan pesan kebingungan. :D

Perlu diingat, penamaan fungsi sifatnya bebas yang penting belum ada di dalam fungsi standar MS Excel. Mau pake nama fungsi FUNGSIJURAGAN juga bisa. Tapi kan sebaiknya nama fungsi merepresentatifkan maksud dan tujuan fungsi tersebutTapi, ada beberapa aturan penamaan, misalnya:

tidak boleh pake spasi
harus diawali oleh huruf
boleh pake angka
tidak boleh karakter lain, kecuali underscore (_)
hurup besar (kapital) hurup kecil sama saja
tidak boleh pake kata kunci VB, misalnya dim, single, then, dll
dll..

Itu aja sih.. :)

Next, ikuti saja step-step berikut:

Buka MS Excel. Buka VB Editor, dengan cara :
- Tombol Alt + F11, atau
- Menu Tools -> Macro -> Visual Basic Editor
Di sebelah kiri harusnya ada jendela Project Explorer. Kalau tidak ada coba tekan Ctrl+R atau klik menu View -> Project Explorer
Highlight (sorot) VBAProject (namafile.xls). Di tutorial ini saya pakai namafile Fungsi Khusus.xls. Klik kanan -> Insert -> Module
Module adalah tempat dimana kita menuliskan fungsi. Harus di module? Ya! Tidak ada tawar menawar. Klik ganda Module1 yang baru saja muncul di Project Explorer. Anda akan dibawa ke sebuah layar utama yang masih kosong. Untuk memastikan anda sedang aktif di Module1, perhatikan salah satu dari 4 gejala berikut ini.
Mari kita isi layar putih tersebut dengan kode berikut:
Berikut penjelasannya:
- Function ABSMAX (R as range, param as Integer)
  ABSMAX adalah nama fungsi,
  R adalah nama variabel yang tipenya Range. Range adalah obyek pada MS Excel yang berisi satu atau lebih sel.
  Variabel R boleh diganti dengan yang lain misalnya Jengkol as Range.
  param adalah variabel integer. Ini untuk mengatur seandainya nilai yang terpilih adalah nilai negatif, maka apakah negatifnya yang diambil atau nilai absolutnya (positif). Jika 0, ambil nilai aslinya (negatif), jika 1 ambil nilai absolut (positif).
- Deklarasi variabel. Beberapa programmer kadang mengabaikan bagian ini. Untuk aplikasi atau fungsi yang ringan, deklarasi variabel kadang tidak dilakukan. Penentuan tipe variabel ini berkaitan dengan alokasi memori yang akan digunakan pada saat eksekusi.
- Vmaks untuk menyimpan nilai maksimum,
  Vmin untuk menyimpan nilai minimum.
  i adalah indeks untuk looping.
  N adalah jumlah sel yang ada pada range R
- Looping untuk mencari nilai maksimum dan minimum. Cara kerjanya sepertinya tidak usah dibahas
- Kemudian kita bandingkan Vmaks dengan Vmin, mana yang nilai absolutnya lebih besar, itulah yang diambil.
  Seandainya ternyata absolut Vmin lebih besar, cek lagi variabel param, apakah tanda minusnya mau dipake atau nggak?
- Catatan, nama fungsi harus segera dikembalikan. Artinya ketika kita mendefinisikan suatu fungsi, pada saat itu juga terbentuk sebuah variabel yang namanya sama dengan nama fungsi, dan variabel ini harus diisi sesuai dengan tujuannya. Fungsi ABSMAX di atas secara otomatis membentuk sebuah variabel ABSMAX. Nilai ABSMAX inilah yang akan ditampilkan sebagai outputnya.
Cara penggunaannya bisa dilihat pada ilustrasi di bawah ini. Jangan lupa simpan pekerjaan anda. :)
Oke?

B. Membuat Fungsi LUAS_WF()

Nah, fungsi yang satu ini sangat bermanfaat bagi kita yang sering bergelut dengan penampang-penampang baja khususnya profil WF.

Langsung saja, secara kasar, luas penampang profil WF bisa dihitung sbb:

$A_{wf} = 2(B \times t_f) + (H - 2t_f)t_w$

Selanjutnya kita buka kembali VisualBasic Editor, dan masuk ke Module1. Mau bikin Module baru juga nggak dilarang kok. Satu Module boleh ditulisi fungsi sebanyak-banyaknya. Cuman, kadang kalau terlalu banyak, kita jadi susah mengaturnya.

ralat : harusnya pada gambar di atas, tw diganti tf, dan sebaliknya tf diganti tw. (mohon maaf)

Tulis fungsi seperti ilustrasi di bawah. Fungsi LUAS_WF() ini kita letakkan di bawah Fungsi ABSMAX(). Tenang saja, nggak akan mengganggu fungsi yang lain kok.

Saya rasa kita tidak butuh penjelasan lebih jauh tentang fungsi di atas. Cuma satu baris.. :D

Contoh penggunaannya :

fungsi-khusus_6808_image016

Kok beda ama tabel ya. Di tabel hasilnya 2716 mm^2. Itu karena ada lengkungan “ketiak” yang ikut diperhitungkan.

C. Menyimpan Module

Fungsi-fungsi yang sudah kita buat sayangnya hanya bisa digunakan oleh file xls yang bersangkutan. Untuk bisa digunakan di file xls yang lain, module ini harus diekspor terlebih dahulu.

1. Mengekspor module

Klik Kanan Module1 di bagian Project Explorer, pilih Export File…
Simpan dengan nama apa saja, ekstensi .bas.

2. Mengimpor module di file lain.

Buka file lain, atau buat file xls baru (Book1).
Buka Visual Basic Editor (Alt + F11)
Sorot Project Explorer (sebelah kiri), klik kanan nama file -> Import File…
Buka file .bas yang sudah diekspor sebelumnya
Dalam sekejap, spreadsheet anda sudah berisi kumpulan fungsi-fungsi khusus buatan anda.

sumber : http://duniatekniksipil.web.id/907/membuat-fungsi-di-ms-excel/

Created By : Unknown Read Full 0 komentar

Perhitungan Momen Inersia (part 4) Penampang Segitiga

Kamis, 06 Mei 2010

gambar_19527_image001 Menghitung Momen Inersia Segitiga

Setelah membahas perhitungan momen inersia bentuk persegi, kali ini kita akan coba hitung sendiri momen inersia segitiga, soalnya bentuk ini juga merupakan bentuk geometri dasar yang banyak digunakan.

Khusus untuk structural engineering, bentuk penampang segitiga mungkin sangat jarang digunakan untuk dijadikan penampang elemen struktur. Bentuk trapesium sendiri bisa dikatakan gabungan dari lebih dari satu penampang persegi dan atau penampang segitiga.

Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Penampang balok jembatan biasanya paling banyak menggunakan bentuk-bentuk gabungan persegi dan segitiga.

Penampang balok girder jembatan

Sementara bentuk segitiga terpancung, bisa kita lihat pada salah satu pondasi tipe minipile (pondasi tiang pancang yang ukurannya penampangnya relatif kecil).

Pondasi minipile penampang segitiga

Momen Inersia Segitiga

Bentuk dasar segitiga secara umum bisa digambarkan sebagai segitiga siku-siku. Bentuk-bentuk segitiga yang lain bisa diturunkan dari penggabungan atau pengurangan dua atau lebih segitiga siku-siku.

gambar_19527_image002

Kembali ke bentuk dasar, segitiga siku-siku dapat dikatakan mempunyai dua variabel utama, panjang alas $b$ , dan tinggi $h$ .

Ada dua cara menentukan persamaan momen inersia segitiga, yang pertama dengan cara menentukan momen inersia langsung di sumbu titik berat segitiga, dan yang kedua melalui transformasi momen inersia dari luar sumbu titik berat.

A. Cara I

gambar_19527_image005

Kami rasa kita tidak perlu bersusah payah mencari lokasi titik berat segitiga, soalnya sudah jadi rahasia umum kalau titik berat segitiga selalu berada pada sepertiga lebar alas dan sepertiga tinggi.

Kita akan menentukan formula momen inersia terhadap sumbu x ( $I_{xx}$ ).
Selanjutnya kita ikuti prosedur di bawah:

Tentukan lokasi garis berat sejajar sumbu x.
Buat elemen $dA$ pada jarak tertentu dari sumbu x, katakanlah jaraknya adalah $y$ . Elemen $dA$ tersebut mempunyai lebar $b_y$ dan tinggi $dy$
$dA = b_y dy$
Besarnya $b_y$ berbeda-beda untuk setiap nilai $y$ .
Jika $y = - \dfrac{h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{-h}{3}} = b$ .
Jika $y = \dfrac{2h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{2h}{3}} = 0$ .
Sehingga bisa dituliskan,
$\begin{array}{rl} \dfrac{b_y - b}{0 - b} &= \dfrac{y - \frac{-h}{3}}{\frac{2h}{3} - \frac{-h}{3}} \\ \\ b_y &= b - b \big( \dfrac{y + \frac{h}{3}}{h} \big) \\ \\ &= b - \dfrac{by}{h} - \dfrac{b}{3} \\\\ b_y &= b ( \dfrac23 - \dfrac{y}{h}) \end{array}$
Momen inersia $I_{xx}$
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b \big( \dfrac23 - \dfrac{y}{h} \big) \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \dfrac{2b}{3}y^2 - \dfrac{b}{h} y^3 \text{d}y \\\\ &= \dfrac{2b}{9}y^3 - \dfrac{b}{4h} y^4 \bigg|_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^3-\big(\dfrac{-h}{3} \big)^3 \bigg) - \dfrac{b}{4h} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^4 - \big(\dfrac{-h}{3}\big)^4 \bigg) \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \big( \dfrac{8h^3}{27} + \dfrac{h^3}{27} \big) - \dfrac{b}{4h} \big( \dfrac{16h^4}{81} - \dfrac{h^4}{81} \big) \\\\ &= \dfrac{2bh^3}{27} - \dfrac{5bh^3}{108} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$

Jadi, momen inersia segitiga terhadap garis beratnya adalah $I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}$

B. Cara II

Cara kedua ini relatif lebih mudah daripada cara yang pertama. Jika cara pertama menggunakan garis berat sebagai sumbu acuan, kali ini kita akan menggunakan alas segitiga sebagai sumbu acuan.

gambar_19527_image007

Kita hitung dulu momen inersia terhadap alas segitiga di atas.

Prosedurnya hampir sama dengan cara I, namun yang membedakan adalah batas atas dan batas bawah pengintegralan. Pada cara yang kedua ini, batas atasnya adalah $y = h$ , dan batas bawahnya adalah $y = 0$ .
Menentukan $b_y$ .
$b_y = b-\dfrac{b}{h}y$
Hitung momen inersia $I_{x}$
$\begin{array}{rl} I_x &= \int_0^h y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_0^h y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h y^2 \big(b-\dfrac{b}{h}y\big) \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h by^2-\dfrac{b}{h}y^3 \\\\ &= \dfrac{b}{3}y^3 - \dfrac{b}{4h}y^4 \bigg|_0^h \\\\ &= \dfrac{bh^3}{3} - \dfrac{bh^3}{4} \\\\ I_x &= \dfrac{bh^3}{12} \end{array}$
Momen inersia di atas bukan momen inersia terhadap sumbu penampang. Jika ingin menentukan momen inersia pada sumbu penampang, $I_{xx}$ , maka kita gunakan formula transformasi momen inersia:
$I_x = I_{xx} + A\bar{y}^2$ , dimana $\bar{y} = \frac{h}{3}$
Menghitung momen inersia terhadap sumbu netral:
$\begin{array}{rl} I_x &= I_{xx} + A\bar{y}^2 \\\\ \dfrac{bh^3}{12} &= I_{xx} + \big( \dfrac{bh}{2} \big) \big( \dfrac{h}{3} \big)^2 \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{12} - \dfrac{bh^3}{18} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$